Analisis Input Output

ANALISIS INPUT – OUTPUT

A.    Model Input-Output Leontief

Analisa input-output bukan suatu bentuk analisa ekuilibrium umum. Meskipun saling ketergantungan dari berbagai industry ditekankan, tingkat output yang benar yang dipertimbangkan adalah mereka yang memenuhi hubungan input-output secara teknis  ketimbang syarat keseimbangan pasar. Meskipun demikian permasalahan yang dihadapi analisa input-output juga berarti penyelesaian suatu sistem persamaan simultan, dan kembali aljabar matriks dapat dipergunakan.

B.    Susunan Model Input-Output

Karena biasanya suatu model input-output mencakup sejumlah besar industri, maka agar tidak rumit diperlukan kerangkanya. Untuk menyederhanakan permasalahan, asumsi berikut ini dipakai sebagai suatu aturan :

1)      Setiap industry hanya menghasilkan satu komoditi (commodity) yang sama (hal ini bila diartikan secara luas, akan membenarkan adanya kasus dua atau lebih komoditi yang secara bersama diproduksi, asalkan mereka diproduksi dalam proporsi yang tetap satu terhadap lainnya.

2)      Setiap industri mempergunakan suatu perbandingan (ratio) input yang tetap (atau kombinasi faktor produksi) untuk menhasilkan outputnya.

3)      Produksi disetiap industri tunduk pada “Constan returt to scale”, sehingga perubahan K kali dalam setiap input akan  menghasilkan perubahan output yang persis sama k kali. Tentu saja asumsi ini tidak sesuai dengan kenyataan. Hal yang mungkin hanyalah bila suatu industry menghasilkan dua komoditi yang berbeda atau menggunakan dua kemungkinan kombinasi faktor produksi yang berbeda, maka industry tersebut dapat – sedikitnya secara konseptual – dipecah menjadi dua industri yang terpisah. 

C.     Model Terbuka

Mengingat akna kehadiran sector terbuka, maka jumlah elemen-elemen dalam setiap kolom dari matriks koefisien-input A (atau singkatnya, matriks input A) harus kurang daripada I. Setiap jumlah kolom merupakan biaya input parsial (tidak termasuk biaya input primer) yang digunakan dalam memproduksi beberapa komoditi  seharga satu “dolar”; oleh karena itu bila jumlah ini lebih besar atau sama dengan $1, maka produksi tersebut secara ekonomi tidak dapat dibenarkan. Secara simbolis fakta ini dapat dinyatakan dengan :

Dimana penjumlahan terhadap i, yakni terhadap elemen-elemen dalam berbagai baris darri kolom j tertentu. Pemikiran lebih lanjut, dapat pula dikatakan bahwa : karena nilai output ($ 1) harus diserap seluruhnya oleh pembayaran untuk faktor-faktor produksi, maka jumlah kolom yang lebih kecil dari $ 1 menunjukkan pembayaran pada input primer dari sector terbuka. Jadi, nilai input primer yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit komoditi adalah :  1 -    .

Bila industri I menghasilkan output yang cukup untuk memenuhi kebutuhan input dari n  industry dan juga permintaan akhir dari sektor terbuka, maka tingkat output x₁ harus memenuhi persamaan berikut ini :

X₁ = a₁₁ x₁ + a₁₂ x ₂ + . . . + a_1n x_n + d₁

Atau     (1 – a₁₁) x₁ – a₁₂ x₂ - . . . – a_1n x_n = d₁

            Dimana d₁ menunjukkan permintaan akhir untuk output yang bersangkutan dan a_ij x_j menunjukkan permintaan input dari industri ke-j. Selain koefisien pertama (1 – a₁₁), koefisien sisanya dalam persamaan terakhir langsung dipindahkan dari baris pertama, mereka seluuhnya diawali dengan tanda minus. Hal yang serupa, persamaan yang bersesuaian untuk industry II mempunyai koefisien yang sama seperti dalam baris kedua (juga dalam penambahan tanda minus), kecuali bahwa variabel x₂ mempunyai koefisien (1 – a₂₂) ketimbang – a₂₂. Untuk seluruh kelompok n industri, tingkat output yang “benar” dapat diringkas  dengan n sistem persamaan linear sebagai berikut :

                        (1 – a₁₁) x₁ -                 a₁₂ x₂ - . . . -                 a_1n x_n = d₁

                                    -a₂₁ x₁ + (1 – a₂₂) x₂ - . . . -                   a_2n x_n =d₂

            (5.17)……………………………………………………………………………………..

                                    -a_n1 x₁ -            a_n2 x₂ - . . . + (1 – a_nn) x_n = d_n

            Dalam notasi matriks, ini dapat ditulis sebagai

( 1 - a₁₁)              - a₁₂        . . .        - a_1n              x₁                            d₁

                                    -a₂₁                  (1-a₂₂)   . . .          -a_2n          x₂                         d₂

(5.17’)              :                            :                         :             :              =          :

                        .                            .                         .             .                          .

                        -a_n1                  -a_n2      . . .       (1 – a_nn)     x_n                           d_n

            Bila angka 1 disebelah kiri dalam diagonal utama matriks dihilangkan, maka matriks menjadi sederhana – A = (- a_ij). Di lain pihak, matriks adalah jumlah dari matriks identitas (identity) I_n (dengan angka-angka 1 pada diagonal utama dan 0 pada tempat lainnya) dan matriks –A. Jadi, (5.17^I) dapat juga ditulis sebagai

            (5.17”)             (I – A) x = d

Dimana x dan d masing-masing adalah vektor variabel dan vektor permintaan akhir (suku konstanta). Matriks (I – A) disebut matriks teknologi, dan dapat dinyatakan dengan T. Jadi sistem persamaan dapat pula ditulis sebagai

            (5.17”’)            Tx = d

Selama T nonsingular – dan tidak ada alas an kenapa tidak demikian – kita dapat mencari invers T^-1 , dan meperoleh satu jawaban tunggal untuk sistem tersebut dari persamaan.

            (5.18)               x = T^-1 d = (I – A)^-1 d

Contoh Numerik

Dianggap bahwa hanya ada tiga industri dalam perekonomian dengan matriks  koefisien-input sebagai berikut (kali ini digunakan angka desimal) :

                                    a₁₁        a₁₂        a₁₃                    0,2       0,3       0,2

            (5.19)   A =       a₂₁        a₂₂        a₂₃        =          0,4       0,1       0,2

                                    a₃₁        a₃₂        a₃₃                    0,1       0,3       0,2

            Perhatikan bahwa, di dalam A jumlah setiap kolom adalah kurang dari 1, sesuai dengan yang seharusnya. Selanjutnya bila kita menyatakan dengan a_0j jumlah “dollar” dari input primer yang digunakan dalam memproduksi komoditi ke-j seharga satu dollar, kita dapat menulis (dengan mengurangkan 1 dengan jumlah setiap kolom) :

            (5.20)               a₀₁ = 0.3           a₀₂ = 0.3           dan      a₀₃ = 0.4

            Dengan matriks A diatas, sistem input-output terbuka dapat dinyatakan dalam bentuk Tx = (1 – A)x = d sebagai berikut :

                                    0,8       -0,3      -0,2      X₁                     d₁

                                    -0,4      0,9       -0,2      X₂         =          d₂

                                    -0,1      -0,3      0,8       X₃                     d₃

Dalam cara ini dengan tetap menganggap vektor d dalam bentuk parameter, jawaban kita akan timbul sebagai suatu “rumus” dimana kita dapat memasukkan berbagai vektor d untuk memperoleh berbagai jawaban spesifik yang sesuai.

            Dengan membalikkan matriks teknoligi T, 3 x 3, jawaban dari (5.12) dapat diperoleh secara kira-kira (karena pembulatan nilai desimal), sebagai :

            X₁                                                                                          0,66     0,30     0,24     d₁

            X₂                  = T^-1 d =             0,34     0,62     0,24     d₂

            X₃                                             0,21     0,27     0,60     d₃

Bila vektor permintaan-akhir tertentu (katakanlah sasaran output dari suatu program pembangun) adalah d =  10            , dalam milyar “dollar” maka nilai jawabannya sebagai berikut:    

                                          5

                                          6

X₁ =       0,66(10) + 0,30(5) + 0,24(6)    =  = 24,84

Hal yang sama  juga untuk

X₂ =  = 20,68      dan      X₃ =  = 18,36

            Selanjutnya timbul pertanyaan yang penting. Produksi bauran output X₁ , X₂ dan X₃ harus membawa sejumlah input primer tertentu yang diperlukan. Apakah sejumlah yang disyaratkan sesuai dengan apa yang tersedia dalam perekonomian ? Atas dasar (5.20) , input primer yang disyaratkan dapat dihitung sebagai berikut :

 = 0,3 (24,84) + 0.3 (20,68) + 0,4 (18,36) = $21,00 milyar.

Oleh karena itu, permintaan spesifik yang kedua d =  10     akan mungkin jika dan hanya jika

                                                                                       5

                                                                                       6

Dan hanya jika jumlah input primer yang tersedia paling sedikit $21 milyar. Bila jumlah yang tersedia ternyata kurang, maka dengan demikian sasaran produksi tentu saja harus disesuaikan kebawah.

            Satu cirri yang penting dari analisa diatas adalah bahwa : selama koefisien input tetap sama, invers T^-1 = (1 – A)^-1 tidak akan berubah, oleh karena itu hanya satu pembalikkan matriks yang perlu dibentuk, meskipun bila kita mempertimbangkan seratus atau seribu vektor permintaan akhir yang berbeda – seperti suatu spektrum dari sasaran alternative pembangunan. Keunggulan ini tidak dimiliki oleh aturan Cramer. Dalam aturan Cramer ini pemecahannya dihitung dengan rumus X1 = [T_j]/[T], tetapi setiap kali vektor permintaan akhir dimasukkan, kita harus menghitung kembali determinan [T_j]. Hal ini akan lebih memakan waktu daripada perkalian suatu T^-1 yang diketahui dengan vektor d yang baru.

D.    Mencari Invers dengan Aproksimasi

Dalam model input-output, terdapat suatu cara untuk mencari suatu perkiraan terhadap invers T^-1 = (1 – A)^-1 untuk setiap derajat ketepatan, jadi memungkinkan untuk menghindari proses pembalikan matriks sama sekali. Maarilah kita perhatikan perkalian matriks (m = suatu bilangan bulat positif) berikut ini :

(I - A) (I + A +A² + . . . + A^m)

= I(I + A + A² + . . . + A^m) – A (I +A + A² + . . . + A^m)     

= (I + A + A² + . . . + A^m) – (A + A² + . . . + A^m  + A^m+1)

= I – A^m+1

Jika hasil perkalian matriks identitas sendiri, maka kita dapat menggunakan jumlah matriks

(I + A +A² + . . . + A^m) sebagai invers (I – A). Kehadiran suku –A^m+1 dapat merusak yang lain. Tetapi untunglah matriks A^m+1 dapat digunakan untuk mendekati matriks nol, n x n,

maka I – A^m+1 akan mendekati I, dan jumlah matriks (I + A + A² + . . . + A^m) akan mendekati invers (I – A)-1. Oleh karena itu, dengan membuat A_m+1 mendekati matriks nol, kita akan memperoleh perkiraan invers aproksimasi dengan menambahkan matriks I, A, A², . . . A^m.

Bila ditentukan matriks koefisien-input A=[a_ii] yang non-negatif , yang masing-masing jumlah kolomnya kurang dari 1, matriks A^m+1 akan mendekati matriks nol bila m dinaikkan tak terhingga. Untuk tujuan ini, kita memerlukan konsep ukuran dari matriks A, yang ditentukan  sebagai jumlah kolom yang terbesar dalam A dan dinyatakan dengan N(A).  Misalnya dalam matriks (5.19), kita mempunyai N(A)=0,7, ini adalah jumlah kolom pertama yang juga sama dengan kolom kedua. Jelas bahwa, tidak ada elemen dalam suatu matriks yang bisa melebihi nilai ukurannya, jadi,

                a_ij ≤ N(A)              (untuk semua i, j)

 Dalam hubungannya dengan input output, kita mempunyai N(A) < 1, dan seluruh a_ij < 1. Sebenarnya, karena matriks A non-negatif, kita harus mempunyai

            0 < N(A) < 1

Mengenai ukuran matriks, kita menemukan teorema yang menyatakan bahwa , bila diketahui matriks A dan B yang bersesuaian, ukuran hasil perkalian matriks AB tidak pernah melebihi hasil perkalian N(A) dan N(B) :

(5.22)   N(AB) ≤ N(A) N(B)

Dalam kasus khusus, A=B, dimana matriks adalah matriks kwadrat, hasilnya adalah

(5.23)   N(A²) ≤ [ N(A)]²

Jika B=A², (5.22) dan (5.23) bersama-sama berarti bahwa :

         N(A³) ≤ N(A) N(A²)≤N(A) [N(A)]² = [N(A)]³

Secara umum versi yang terakhir adalah:

(5.24)   N(A^m) ≤ [N(A)]^m

Dengan dasar inilah 0 < N(A) < 1 mempunyai arti yang signifikan, karena jika m menjadi tak terhingga, [N(A)]^m harus mendekati nol bila N(A) suatu pecahan positif. Dari (5.24), ini berarti bahwa N(A^m) juga harus mendekati nol, karena  [N(A)]^m paling tidak sebesar[A(A)]^m. Namun bila demikian halnya, elemen dalam matriks A^m juga harus mendekati nol jika m dinaikkan tak terhingga, karena tidak ada elemen dari matriks yang terakhir dapat melebihi nilai ukuran N(A^m). Jadi, dengan membuat m cukup besar, matriks  A^m+1 dapat dibuat mendekati matriks nol, jika syarat 0,N(A)<1 dipenuhi.

E.     Model Tertutup

Bila sektor eksogen dari model input-output dimasukkan ke dalam system sebagaiman juga sektor industri lainnya, maka model ini akan menjadi suatu model tertutup. Dalam model seperti itu, permintaan akhir dan input primer tidak muncul, di tempat tersebut akan digambarkan kebutuhan input dan output dari industri yang baru. Sekarang seluruh barang akan bersifat barang antara (intermediate), karena sesuatu yang dihasilkan hanya akan dihasilkan untuk memenuhi kebutuhan input dari industri (n+1) dalam model.

Secara sepintas, konversi dari sektor terbuka ke dalam suatu industri tambahan nampaknya tiddak akan menimbulkan perubahan yang berarti dalam analisa. Tetapi, sebenarnya karena industri yang baru dianggap mempunyai suatu rasio input yang tetap seperti juga industri lainnya, penyediaan dari apa yang digunakan untuk menjadi input primer harus merupakan proporsi yang tetap yang berarti bahwa biasanya dinamakan sebagai permintaan terakhir. Sebagai contoh, agar dapat berarti lebih jelas, ini berarti bahwa rumahtangga akan mengkonsumsi tetap komoditi dalam suatu perbandingan yang tetap terhadap jasa tenaga kerja yang mereka tawarkan. Ini tentu saja merupakan perubahan yang berarti dalam kerangka analisa kita.

Secara matematik, hilangnya permintaan akhir berarti bahwa kita sekarang akan mempunyau system persamaan homogeny. Dengan asumsi hanya terdapat empat industri (termasuk yang baru ditunjuk dengan indeks 0), tingkat output yang “benar” akan bersesuaian dengan (5.17), yang memenuhi system persamaan :

(1 – a₀₀)                -a01       -a02       -a03           x0               0

                 -a10                (1-a11)        -a12       -a13            x1      =      0

                 -a20                      -a21   (1-a22)      -a23            x2             0                              

                 -a30                      -a31       -a32    (1-a33)         x3              0

Karena system persamaan ini homogen, maka ia dapat mempunyai  jawaban yang tidak remeh (nontrivial) jika dan hanya jika matriks teknologi (I-A). 4 x 4, mempunyai determinan yang nol. Syarat yang terakhir ini memang selalu dipenuhi. Di dalam suatu model tertutup, tidak ada lagi input primer, , jadi jumlah setiap kolom dalam matriks koefisien input A sekarang harus benar-benar sama dengan 1 ; jadi a_0j + a_1j + a_2j + a_3j = 1, atau:

A0j = 1-a_1j-a_2j-a3j

Tetapi ini berarti bahwa, dalam setiap kolom matriks (1-A) di atas, elemen palimg atas selalu sama dengan selisih dari jumlah ketiga elemen-elemen lainnya. Akibatnya, keempat baris tersebut adalah tidak bebas secara linear, dan kita harus mencari |1-A|=0. Ini menjamin, bahwa sistemnya mempunyai jawaban ‘tidak remeh’ (nontrival); dalam kenyataannya, system ini mempunyai sejumlah pemecahah yang tak terhingga. Ini berarti bahwa di dalam suatu model tertutup dengan system persamaan homogen, tidak ada satu jawaban kombinasi output yang benar. Kita dapat menentukan tingkat output  x1……….x4 dalam perbandingan satu terhaap lainnya, tetapi tidak dapat menetapkan tingkat absolutnya kecuali ditetapkan adanya kendala tambahan di dalam model itu.